Question

【题目】已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°，

（1）如图①，若D为弧AB的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；

（2）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．

Answer 1

【答案】（1）∠ABC=52°∠ABD=45°；（2）∠OCD=26°．

【解析】

（1）根据圆周角和圆心角的关系和图形可求∠ABC和∠ABD的大小.

（2）根据题意和平行线的性质，切线的性质可以求得∠OCD的度数．

（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠ACB-∠BAC=90°-38°=52°，

∵D为弧AB的中点，∠AOB=180°，

∴∠AOD=90°，

∴∠ABD=45°；

（2）连接OD，

∵DP切⊙O于点D，

∴OD⊥DP，即∠ODP=90°，

由DP∥AC，又∠BAC=38°，

∴∠P=∠BAC=38°，

∵∠AOD是△ODP的一个外角，

∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°，

∴∠ACD=64°，

∵OC=OA，∠BAC=38°，

∴∠OCA=∠BAC=38°，

∴∠OCD=∠ACD-∠OCA=64°-38°=26°．