Question

19．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则cos∠EAF=$\frac{7\sqrt{65}}{65}$．

Answer 1

分析 作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，作EH⊥AF于H．，再根据△CEF∽△BEA即可求出CF的长，进而得出DF的长，想办法求出AE、AH，即可求出cos∠EAF的值．

解答 解：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，作EH⊥AF于H．
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，
∴BE=CE=CE′=4，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴$\frac{CE'}{BE'}=\frac{CF}{AB}$，即$\frac{4}{8+4}=\frac{CF}{6}$，解得CF=2，
∴DF=CD-CF=6-2=4．
∴AE=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，AF=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵S_△AEF=$\frac{1}{2}$•AF•EH=S_矩形ABCD-S_△ABE-S_△ADF-S_△EFC，
∴$\frac{1}{2}$$•4\sqrt{5}$•EH=16，
∴EH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△AEH中，AH=$\sqrt{A{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{13}）^{2}-（\frac{8\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{14\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠EAF=$\frac{AH}{AE}$=$\frac{\frac{14\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{13}}$=$\frac{7\sqrt{65}}{65}$．
故答案为$\frac{7\sqrt{65}}{65}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．