Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O，P为直线OA上方抛物线上的一个动点．

（1）求直线OA及抛物线的解析式；

（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，并与直线OA交于点C，当△PCO为等腰三角形时，求D的坐标；

（3）设P关于对称轴的点为Q，抛物线的顶点为M，探索是否存在一点P，使得△PQM的面积为，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线OA的解析式为y＝x，二次函数的解析式是y＝﹣x2+4x；（2）D（）；（3）存在，P（）或（）．

【解析】

（1）设直线OA的解析式为y1＝kx，把点A坐标（3，3）代入得：k＝1，直线OA的解析式为y＝x；再设y2＝ax（x4），把点A坐标（3，3）代入得：a＝1，即可求解；

（2）P为直线OA上方抛物线上的一个动点，故0＜m＜3．此时仅有OC＝PC，CO＝OD＝m，，解得，即可求解；

（3）M到直线PQ的距离为4（n2＋4n）＝（n2）2，要使△PQM的面积为，则，即，即可求解．

解：（1）设直线OA的解析式为y1＝kx，

把点A坐标（3，3）代入得：k＝1，

直线OA的解析式为y＝x；

再设y2＝ax（x﹣4），

把点A坐标（3，3）代入得：a＝﹣1，

函数的解析式为y＝﹣x2+4x，

∴直线OA的解析式为y＝x，二次函数的解析式是y＝﹣x2+4x．

（2）设D的横坐标为m，则P的坐标为（m，﹣m2+4m），

∵P为直线OA上方抛物线上的一个动点，

∴0＜m＜3．

此时仅有OC＝PC，CO＝=OD＝m，

∴，解得，

∴；

（3）函数的解析式为y＝﹣x2+4x，

∴对称轴为x＝2，顶点M（2，4），

设P（n，﹣n2+4n），则点P关于对称轴的对称点Q（4﹣n，﹣n2+4n），

M到直线PQ的距离为4﹣（﹣n2+4n）＝（n﹣2）2，

要使△PQM的面积为，

则，即，

解得：或，

∴P（）或（）．