Question

16．如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，求证：EF=BE-FD．

Answer 1

分析 在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．根据SAA证明△ABG≌△ADF得到AG=AF，∠BAG=∠DAF，根据∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，可知∠GAE=∠EAF，可证明△AEG≌△AEF，EG=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．

解答 证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
在△ABG和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADF}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
在△AEG和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAE=∠EAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG=EF，
∵EG=BE-BG
∴EF=BE-FD．

点评 本题考查了三角形全等的判定和性质，本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．