Question

（2012•常州）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点）．连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图），设CP=x，DE=y．
（1）写出y与x之间的关系式（　　）；
（2）若点E与点A重合，则x的值为（　　）；
（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由PE与PM垂直，利用平角的定义得到一对角互余，再由矩形的内角为直角，得到三角形DPE为直角三角形，可得出此直角三角形中一对锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形PCM与三角形DPE相似，由相似得比例，将各自的值代入，即可列出y关于x的函数关系式；
（2）当E与A重合时，DE=DA=2，将y=2代入第一问得出的y与x的关系式中，即可求出x的值；
（3）存在，理由为：如图所示，过P作PH垂直于AB，由对称的性质得到：PD′=PD=4-x，ED′=ED=y=-x²+4x，EA=AD-ED=x²-4x+2，∠PD′E=∠D=90°，在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4-x，根据勾股定理表示出D′H，再由△ED′A∽△D′PH，由相似得比例，将各自表示出的式子代入，可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意的x的值．

解答：解：（1）∵PE⊥PM，∴∠EPM=90°，
∴∠DPE+∠CPM=90°，
又矩形ABCD，∴∠D=90°，
∴∠DPE+∠DEP=90°，
∴∠CPM=∠DEP，又∠C=∠D=90°，
∴△CPM∽△DEP，
∴

CP

DE

=

CM

DP

，
又CP=x，DE=y，AB=DC=4，∴DP=4-x，
又M为BC中点，BC=2，∴CM=1，
∴

x

y

=

1

4-x

，
则y=-x²+4x；

（2）当E与A重合时，DE=AD=2，
∵△CPM∽△DEP，
∴

CP

DE

=

CM

DP

，
又CP=x，DE=2，CM=1，DP=4-x，
∴

x

2

=

1

4-x

，即x²-4x+2=0，
解得：x=2+

2

或x=2-

2

，
则x的值为2+

2

或2-

2

；

（3）存在，过P作PH⊥AB于点H，

∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，
∴PD′=PD=4-x，ED′=ED=y=-x²+4x，EA=AD-ED=x²-4x+2，∠PD′E=∠D=90°，
在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4-x，
根据勾股定理得：D′H=

(4-x)2-22

=

x2-8x+12

，
∵∠ED′A=180°-90°-∠PD′H=90°-∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=90°，
∴△ED′A∽△D′PH，
∴

ED′

D′P

=

EA

D′H

，即

-x2+4x

4-x

=

x(4-x)

4-x

=x=

x2-4x+2

x2-8x+12

，
整理得：2x²-4x+1=0，
解得：x=

2± 2

2

，
当x=

2± 2

2

时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上．
故答案为：（1）y=-x²+4x；（2）2+

2

或2-

2

点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，对称的性质，矩形的性质，以及一元二次方程的应用，利用了数形结合的数学思想，灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键．