[题目]抛物线M:y=ax2-4ax+a-1(a≠0)与x轴交于A.B两点(点A在点B左侧).抛物线的顶点为D．(1)抛物线M的对称轴是直线 ,(2)当AB=2时.求抛物线M的函数表达式以及顶点D的坐标,(3)在(2)的条件下.直线l:y=kx+b(k≠0)经过抛物线的顶点D.直线y=n与抛物线M有两个公共点.它们的横坐标分别记为x1.x2.直线y=n与直线l的交点的横坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】抛物线M：y=ax2-4ax+a-1（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D．

（1）抛物线M的对称轴是直线______；

（2）当AB=2时，求抛物线M的函数表达式以及顶点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，直线l：y=kx+b（k≠0）经过抛物线的顶点D，直线y=n与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标分别记为x1，x2，直线y=n与直线l的交点的横坐标记为x3（x3＜4），若当-2≤n≤-1时，总有x1-x3＜x3-x2＜0，请结合函数的图象，直接写出k的取值范围．

【答案】（1）x=2；（2）y=x2+2x，顶点D的坐标为（2，）；（3）k的取值范围：

【解析】

（1）根据对称轴的公式进行计算即可；

（2）根据抛物线的对称性以及对称轴，分别求出A、B两点坐标，然后再代入抛物线解析式中求出a值，即可解答；

（3）根据题意，画出函数图象，然后根据函数的图象直接求出k的取值范围即可．

解：（1）∵抛物线M：y=ax2-4ax+a-1（a≠0），

∴抛物线的对称轴直线为：x=-==2．

故答案为：x=2；

（2）∵抛物线M：y=ax2-4ax+a-1（a≠0）的对称轴为直线x=2，抛物线M与x轴的交点为点A，点B，（点A在点B的左侧），AB=2，

∴点A、B的坐标分别为（1，0），（3，0），

将A的坐标代入抛物线的函数表达式，得a-4a+a-1=0，

解得a=-，

∴抛物线M的函数表达式为：y=x2+2x，

将抛物线M的函数表达式化为顶点式为：y=x2+2x=（x-2）2+，

∴顶点D的坐标为（2，）；

（3）如图，由（2）知点D的坐标为（2，）．

∵直线y=n与直线l的交点横坐标记为x3（x3＜4），且当-2≤n≤-1时，总有x1-x3＜x3-x2＜0，

∴直线l与y轴的交点在（0，-2）的下方，

∴b＜-2，

∵直线l：y=kx+b（k≠0）经过抛物线的顶点D，

∴2k+b=，∴b=-2k，

∴-2k＜-2，解得k＞．

故k的取值范围：k＞．

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