Question

18．阅读下面材料：
小腾同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D是BC边的中点，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=3，求AC的值．

小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
（1）请你帮小腾求出AC的长；
（2）参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=3，BE=2ED，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）如图2中，作CE∥AB，交AD的延长线于E，根据等腰三角形的判定，可得AE=AC，再证明△ADB≌△EDC，即可解决问题．
（2）如图3中，过点D作DF∥AB交AC于点F，首先证明△BAE≌△DFE，在Rt△ACF中，求出AD，DF，再证明AD=AC，在Rt△ABC利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：（1）如图2中，作CE∥AB，交AD的延长线于E．

∴∠E=∠BAD=75°，∵∠CAD=30°，
∴∠ACE=180°-∠E-∠CAE=180°-75°-30°=75°
∴∠E=∠ACE，
∴AC=AE，
在△ADB和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠E}\\{∠ADB=∠EDC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△EDC，
∴AD=ED，
∴AE=2AD=6，
∴AC=AE=4.5．

（2）如图3中，过点D作DF∥AB交AC于点F．

∴∠DFA=∠BAC=90°，
∵∠AEB=∠DEF，
∴△BAE∽△DFE，
∴$\frac{AB}{DF}$=$\frac{AE}{EF}$=$\frac{BE}{DE}$=2，
∴AB=2DF，EF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3}{2}$，AF=AE+EF=$\frac{9}{2}$，
在Rt△ADF中，∵∠CAD=30°，
∴DF=AFtan∠CAD=$\frac{9}{2}$×tan30°=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
AD=$\frac{AF}{cos30°}$=3$\sqrt{3}$，
∴AB=2DF=3$\sqrt{3}$，
在△ACD中，∵∠CAD=30°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=75°，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD=3$\sqrt{3}$，
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{27+27}$=3$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了四边形综合题，涉及到了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．