Question

如图1，将△ABC的三个顶点的横坐标同时乘以-1得到三个新的顶点A′，B′，C′，则△ABC与△A′B′C′关于y轴对称（对称变换）；如图2，将⊙O（x²+y²=2）向上平移2个单位，在向右平移3个单位得到⊙A （x-3）²+（y-2）²=2（平移变换）；如图3，把y=x²的图象上点的横坐标不变，所有点的纵坐标同时乘以4得到一个新图象，则新图象的解析式为

1

4

y=x2，即y=4x²（伸缩变换）．试回答问题：
（1）y=x²-x+1的图象关于原点对称图象的解析式为

 

；
（2）将y=-

1

x

的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的图象的解析式为

 

；
（3）将y=5x+1的图象所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

1

5

，得到的图象的解析式为

 

；
（4）试探究：抛物线y=3x²-6x+1是由抛物线y=x²通过怎样的变换而得到的？

Answer 1

分析：（1）关于原点对称，那么所求图象的开口向下，二次项的系数与原二次项的系数互为相反数，对称轴在y轴的左侧，那么b＜0，与y轴的交点在y轴的下方，为原来交点的相反数；
（2）根据平移规律，在横坐标处加3，纵坐标处减4即可；
（3）根据伸缩规律，让横坐标乘5即可得到相应函数解析式；
（4）把抛物线y=3x²-6x+1整理为顶点式，并且两边都除以二次项系数，看顶点是如何变化的及y是如何变化的即可．

解答：解：（1）关于原点对称，那么所求图象的开口向下，开口大小不变，
∴a=-1，
∵变换后对称轴在y轴左侧，
∴b=-1，
∵变换后与y轴交于负半轴，
∴c=-1，
∴y=-x²-x-1；

（2）y=-

1

x+3

-4；

（3）∵横坐标缩短为原来的

1

5

，
∴解析式为：y=25x+1；

（4）y=3x²-6x+1=3（x-1）²-2，
∴

y

3

=（x-1）²-

2

3

，
∴y=x²向右平移1个单位，再向下平移

2

3

个单位，得：y=(x-1)2-

2

3

，
那么横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍可得抛物线y=3x²-6x+1．

点评：解决本题的关键是理解平移变化中左右平移只改变横坐标的值，左加右减；上下平移只改变常数，上加下减；伸缩变化中，坐标是原来坐标的n倍，那么所求的解析式的坐标应为原来坐标的

1

n

倍．