Question

（2008•海口一模）如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为

2

3

．

Answer 1

分析：根据题意画出平移后的图形，如图所示，设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作OE⊥AD，根据垂径定理得到E为AD的中点，由平移前AC与圆O相切，切点为A点，根据切线的性质得到OA与AC垂直，可得∠OAA′为直角，由A′D与A′A为圆O的两条切线，根据切线长定理得到A′D=A′A，再根据∠B′A′C′=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形A′AD为等边三角形，平移的距离AA′=AD，且∠DAA′=60°，由∠OAA′-∠DAA′求出∠OAE为30°，在直角三角形AOE中，由锐角三角函数定义表示出cos30°=

AE

OA

，把OA及cos30°的值代入，求出AE的长，由AD=2AE可求出AD的长，即为平移的距离．

解答：解：根据题意画出平移后的图形，如图所示：
设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，
过O作OE⊥AD，可得E为AD的中点，
∵平移前圆O与AC相切于A点，
∴OA⊥A′C，即∠OAA′=90°，
∵平移前圆O与AC相切于A点，平移后圆O与A′B′相切于D点，
即A′D与A′A为圆O的两条切线，
∴A′D=A′A，又∠B′A′C′=60°，
∴△A′AD为等边三角形，
∴∠DAA′=60°，AD=AA′=A′D，
∴∠OAE=∠OAA′-∠DAA′=30°，
在Rt△AOE中，∠OAE=30°，AO=2，
∴AE=AO•cos30°=

3

，
∴AD=2AE=2

3

，
∴AA′=2

3

，
则该直角三角板平移的距离为2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，垂径定理，以及平移的性质，是一道多知识点的综合性题，根据题意画出相应的图形，并作出适当的辅助线是本题的突破点．