Question

已知，纸片⊙Ｏ的半径为2 ，如图1. 沿着弦AB 折叠操作。
（1）如图2 ，当折叠后的经过圆心Ｏ时，求的长度；
（2）如图3，当弦AB＝2时，求折叠后⊙O所在圆的圆心O′到弦AB的距离；
（3）在如图1中，将纸片⊙O沿着弦CD折叠操作：    
①如图4，当AB∥CE时，折叠后的和所在圆外切与点P时，设点O到弦CD，AB的距离之和为d，试求d的值；  
②如图5，当AB与CD不平行时，折叠后的和所在圆外切与点P，点M，N分别为AB，CD的中点试探究四边形OMPN的形状，并证明。

Answer 1

解：（1）可以过点O作OE垂直于弦AB，并连接AE，BE，BO，AO， 由图形的对称性可知四边形AEOB 为菱形，△AEO，△BEO均为等边三角形，∠AOB=120°， ； （2）.折叠后的圆O′与圆O是等圆，设折叠后所在圆的圆心O，可过O′作AB的垂线段即为m， m=tan60°×1=； （3）可作AB垂线，交圆与点E，点G，且经过点P，EF必定垂直且平分AB，CD。GE=GP，HP=HF； 距离之和为d= （GE+GP+HP+HF）÷2=4÷2=2； （4）可设点K，点L分别是，所在圆的圆心，连接KL， ∵折叠后⊙K，⊙O，⊙L均是等圆 ∵点K与点O， 点L与点O是分别关于AB，CD的对称点， ∴点M，点N分别是OK，OL的中点； 连心线KL必定经过外切点P；点M，N，P分别是△KOL三边的中点， ∴MP=NO=OL， MP∥OL， ∴四边形OMPN 为平行四边形。

图5 图4