Question

如图，在直角梯形ABCD中．AB∥CD，AB=12cm，CD=6cm，DA=3cm，∠D=∠A=90°，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t表示移动的时间（单位：秒），并且0≤t≤3．
（1）当t为何值时，△QAP为等腰三角形；
（2）证明不论t取何值，四边形QAPC的面积是一个定值，并且求出这个定值；
（3）请你探究△PBC能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）设经过t秒△QAP为等腰三角形，则DA-DQ=AP，即3-t=2t，解得：t=1s．

（2）连接AC，则S_{四边形QAPC}=S_△APC+S_△ACQ=AP•AD+AQ•CD=[3×2t+6×（3-t）]=×18=9，故不论t取何值，四边形QAPC的面积是一个定值，这个定值为9．

（3）能．①过C作CE⊥AB于E，则AE=CD=6cm，当p运动到E点时，运动的时间为=3s，此时Q正好运动到A点．△PBC中∠CPB=90°．

②当∠PCB=90°时，即P到E点时，过D作DG∥BC，
则四边形DGBC是平行四边形，BG=DC=6cm，
故AG=AB-GB=12-6=6cm，DG=BC===3cm，
过A作AF∥CE，则AF=CE，CF=AE=2t，DF=DC-2t=6-2t，
AF=CE===3，
在直角三角形BCE中，BE²=CE²+BC²，
即（12-2t）²=（6-2t）²+3²+（3）²，
解得：t=（符合题意）．
故当t=s，或t=3s时△PBC能否构成直角三角形．

分析：（1）设经过t秒△QAP为等腰三角形，根据题意列出方程即可求出t的值；
（2）连接AC，即可求出四边形QAPC的面积，与t无关；
（3）分∠PCB与∠CPB为直角时两种情况分别求出T的值．
点评：此题比较复杂，涉及到梯形及平行四边形的性质，直角三角形的性质与判定定理，需同学们熟练掌握．