Question

阅读材料：若m²-2mn+2n²-8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m²-2mn+2n²-8n+16=0，∴（m²-2mn+n²）+（n²-8n+16）=0
∴（m-n）²+（n-4）²=0，∴（m-n）²=0，（n-4）²=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x²+2xy+2y²+2y+1=0，求2x+y的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²+b²-6a-8b+25=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a-b=4，ab+c²-6c+13=0，则a+b+c=______．

Answer 1

解：（1）∵x²+2xy+2y²+2y+1=（x²+2xy+y²）+（y²+2y+1）=（x+y）²+（y+1）²=0，
∴x+y=0，且y+1=0，
解得：x=1，y=-1，
则2x+y=2-1=1；
（2）∵a²+b²-6a-8b+25=（a²-6a+9）+（b²-8b+16）=（a-3）²+（b-4）²=0，
∴a-3=0且b-4=0，
解得：a=3，b=4，
∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，
∴△ABC的最大边c的值为5或6；
（3）∵a-b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c²-6c+13=0，
整理得：（b2+4b+4）+（c²-6c+9）=（b+2）²+（c-3）²=0，
∴b+2=0，且c-3=0，即b=-2，c=3，a=2，
则a+b+c=2-2+3=3．
故答案为：3
分析：（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出2x+y的值；
（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；
（3）由a-b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a+b+c的值．
点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．