Question

2．已知二次函数的图象经过点A（-2，0），B（2，-8），且对称轴为直线x=1．
（1）求该二次函数的解析式及顶点坐标，并画出大致图象；
（2）直接写出，当x取何值时，该函数的函数值大于0；
（3）把该函数图象向上平移几个单位后能使其经过原点．

Answer 1

分析 （1）先利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），则可设交点式y=a（x+2）（x-4），然后把B点坐标代入求出a，进而可画出函数大致图象；
（2）利用抛物线与x轴的两交点坐标和抛物线开口向上，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；
（3）先求出抛物线与y轴的交点坐标为（0，-8），然后利用点平移的规律确定抛物线向上平移的单位．

解答 解：（1）∵二次函数的图象经过点A（-2，0），对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），
把B（2，-8）代入得a•4•（-2）=-8，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x+2）（x-4），即y=x²-2x-8，
函数图象如图所示：

（2）∵抛物线与x轴的两交点坐标为（-2，0），（4，0），
而抛物线开口向上，∴当x＜-2或x＞4时，y＞0；
（3）当x=0时，y=x²-2x-8=8，即抛物线与y轴的交点坐标为（0，-8），
所以把该函数图象向上平移8个单位后能使其经过原点．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．