Question

已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD=BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等求出∠ADC=∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出AM=BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM=CN，求出∠NCM=60°即可．

解答：解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．

（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED=∠CDE=60°，
∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED，
=∠ADC+60°+∠BED，
=∠CED+60°，
=60°+60°，
=120°，
∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°，
答：∠DOE的度数是60°．

（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM=

1

2

AD，BN=

1

2

BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中

AC=BC ∠CAM=∠CBN AM=BN

，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM=CN，
∠ACM=∠BCN，
又∠ACB=60°，
∴∠ACM+∠MCB=60°，
∴∠BCN+∠MCB=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△MNC是等边三角形．

点评：本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．