Question

6．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，过O点作OD⊥BC，交⊙O的切线CD于点D，交⊙O于点E，连接AC、AE，且AE与BC交于点F．
（1）连接BD，求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AF：EF=2：1，求tan∠CAF的值．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质得到∠OBD=∠OCD=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到AC∥DE，设OD与BC交于G，根据平行线飞线段成比例定理得到AC：EG=2：1，EG=$\frac{1}{2}$AC，根据三角形的中位线的性质得到OG=$\frac{1}{2}$AC于是得到AC=OE，求得∠ABC=30°，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵OC=OB，OD⊥BC，
∴∠COD=∠BOD，
在△COD与△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠COD=∠BOD}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△BOD，
∴∠OBD=∠OCD=90°，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，AC⊥BC，
∵OD⊥CB，
∴AC∥DE，
设OD与BC交于G，
∵OE∥AC，AF：EF=2：1，
∴AC：EG=2：1，即EG=$\frac{1}{2}$AC，
∵OG∥AC，OA=OB，
∴OG=$\frac{1}{2}$AC，
∵OG+GE=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$AC=AC，
∴AC=OE，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
∵$\widehat{CE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠CAF=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°，
∴tan∠CAF=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．