如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠ABC=60°.BC=2cm.点D为BC的中点.动点E从点A出发.沿着A→B→A的方向以1cm/s的速度运动.当回到点A时停止运动.连接DE．设点E的运动时间为t(s).△BDE的面积为S(cm2)(这里规定:线段是面积为0的几何图形)．(1)求AB的长,(2)求S与t之间的函数关系式,(3)当△BDE是直角三角形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

11．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，点D为BC的中点，动点E从点A出发，沿着A→B→A的方向以1cm/s的速度运动，当回到点A时停止运动，连接DE．设点E的运动时间为t（s），△BDE的面积为S（cm²）（这里规定：线段是面积为0的几何图形）．
（1）求AB的长；
（2）求S与t之间的函数关系式；
（3）当△BDE是直角三角形时，求t的值．

分析（1）根据已知和余弦的概念求出AB的长；
（2）作DF⊥AB于点F，根据三角函数的概念求出DF的长，分当0≤t≤4时和当4≤t≤8时两种情况表示出S与t之间的函数关系式；
（3）分∠EDB=90°和∠DEB=90°两种情况结合锐角三角函数的概念进行解答即可．

解答解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB=4cm；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，
在Rt△BDF中，∠DBF=60°，
∴sinB=$\frac{DF}{BD}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
①当0≤t≤4时，S=$\frac{1}{2}$•BE•DF=$\frac{1}{2}$（4-t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t+$\sqrt{3}$，
②当4≤t≤8时，S=$\frac{1}{2}$•BE•DF=$\frac{1}{2}$（t-4）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t-$\sqrt{3}$；
（3）当∠EDB=90°，cosB=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{4-t}$=$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{t-4}$=$\frac{1}{2}$，
解得t=2或t=6，
当∠DEB=90°，cosB=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴4-t=$\frac{1}{2}$或t-4=$\frac{1}{2}$，
解得t=3.5或t=4.5．
当t=2、t=6、t=3.5、t=4.5时，△BDE是直角三角形．

点评本题考查的是锐角三角函数、一次函数的应用和直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念、正确进行分情况讨论是解题的关键．

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7．

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A．

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B．

60°

C．

30°

D．

90°

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