Question

在直角坐标系中，正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂C₁、A₃B₃C₃C₂、…、A_nB_nC_nC_n-1按如图所示的方式放置，其中点A₁、A₂、A₃、…、A_n均在一次函数y=kx+b的图象上，点C₁、C₂、C₃、…、C_n均在x轴上．若点B₁的坐标为（1，1），点B₂的坐标为（3，2），则点A _n的坐标为

（2^n-1-1，2^n-1）

，B_n的坐标是

（2ⁿ-1，2^n-1）

．

Answer 1

分析：首先求得直线的解析式，分别求得A₁，A₂，A₃…的坐标，可以得到一定的规律，分别求得B₁，B₂，B₃…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．

解答：解：∵B₁的坐标为（1，1），点B₂的坐标为（3，2），
∴正方形A₁B₁C₁O₁边长为1，正方形A₂B₂C₂C₁边长为2，
∴A₁的坐标是（0，1），A₂的坐标是：（1，2），
代入y=kx+b得

b=1 k+b=2

，
解得：

b=1 k=1

．
则直线的解析式是：y=x+1．
∵A₁B₁=1，点B₂的坐标为（3，2），
∴A₁的纵坐标是：1=2⁰，A₁的横坐标是：0=2⁰-1，
∴A₂的纵坐标是：1+1=2¹，A₂的横坐标是：1=2¹-1，
∴A₃的纵坐标是：2+2=4=2²，A₃的横坐标是：1+2=3=2²-1，
∴A₄的纵坐标是：4+4=8=2³，A₄的横坐标是：1+2+4=7=2³-1，
据此可以得到A_n的纵坐标是：2^n-1，横坐标是：2^n-1-1．
故点A_n的坐标为 （2^n-1-1，2^n-1）．
∵点B₁的坐标为（1，1），点B₂的坐标为（3，2），
∴点B₃的坐标为（7，4），
∴Bn的横坐标是：2ⁿ-1，纵坐标是：2^n-1．
则B_n的坐标是（2ⁿ-1，2^n-1）．
故答案为：（2^n-1-1，2^n-1），（2ⁿ-1，2^n-1）．

点评：此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．