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(本题14分)如图,等腰梯形ABCD中,AB=4CD=9,∠C=60°,动点P从点C出发沿CD方向向点D运动,动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.

(1)求AD的长;

(2)设CP=x, △PDQ的面积为y,求y关于x的函数表达式, 并求自变量的取值范围;

(3)探究:在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形?若存在,请找出点M,并求出BM的长;不存在,请说明理由.

 

 

 


      

 

 

 

 

 

【答案】

解:(1)∵AD关于点Q成中心对称,HQAB

=90°,HD=HA

,…………………………………………………………………………2分

∴△DHQ∽△ABC ……………………………………………………………………1分

 

 

 

 

 

 

 

(2)①如图1,当时,

ED=QH=

此时. …………………………………………2分

②如图2,当时,

ED=QH=

此时. …………………………………………2分

yx之间的函数解析式为(自变量取值写对给1分)

(3)①如图1,当时,

DE=DH,∵DH=AH= DE=

=.……………………………………………………1分

显然ED=EHHD=HE不可能; ……………………………………………………1分

②如图2,当时,

DE=DH=;   …………………………………………1分

HD=HE,此时点DE分别与点BA重合,;  ………………………1分

ED=EH,则△EDH∽△HDA

.   ……………………………………2分

∴当x的值为时,△HDE是等腰三角形.

(其他解法相应给分)

【解析】略

 

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(1)求AD的长;
(2)设CP=x, △PDQ的面积为y,求y关于x的函数表达式,并求自变量的取值范围;
(3)探究:在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形?若存在,请找出点M,并求出BM的长;不存在,请说明理由.

 

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