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    已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h.

    　　若点P在一边BC上(如图14-3-17①)，此时h3=0，可得结论：h1＋h2＋h3=h.

    　　请直接应用上述信息解决下列问题：

    　　当点P在△ABC内(如图14-3-17②)、点P在△ABC外(如图14-3-17③)这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请简述理由；若不成立，h1、h2、h3与h之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明.
    答案：
    解析：

    		 分析：这是一个阅读理解题，以点P在等边三角形的边上为基础，有结论“h1+h2+h3=h”成立，因此我们要把问题②③转化成图①的情景.过点P作NQ∥BC，分别交AB、AC、AM(或它们的延长线)于点N、Q、K(如下图)，则△ANQ仍为等边三角形，对应有类似“h1+h2+h3=h”的结论.

    解：当点P在△ABC内部时，结论h1+h2+h3=h仍然成立.

    如图(1)，过点P作NQ∥BC，分别交AB、AC、AM于点N、Q、K，则△ANQ仍为等边三角形，由①可知h1+h2=AK.

    ∵NQ∥BC，KM⊥BC，PF⊥BC ∴KM=PF=h3，∴h1+h2+h3=AK+KM=AM=h.

    当点P在△ABC外部时，h1、h2、h3与h之间的关系为h1+h2-h3=h，如图(2)，证法同上.

    　


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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．
    在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h．
    在图（2），（3），（4），（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
    （1）请探究：图（2），（3），（4），（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）图②-⑤中的关系依次是：
    h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；
    （2）证明图（2）所得结论；
    （3）证明图（4）所得结论；
    （4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：h1+h3+h4=
    mhm-n
    ．图（4）与图（6）中的等式有何关系．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    31、已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．
    “若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”
    请直接应用上述信息解决下列问题：
    （1）当点P在△ABC内（如图2），（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图①中，点P是边BC的中点，由S△ABP+S△ACP=S△ABC得，
    1
    2
    AB．h1+
    1
    2
    AC．h2=
    1
    2
    BC．h，可得h1+h2=h又因为h3=0，所以：h1+h2+h3=h．
    图②～⑤中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
    （1）请探究：图②～⑤中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
    （2）说明图②所得结论为什么是正确的；
    （3）说明图⑤所得结论为什么是正确的．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2007•临夏州）[（1）-（3），10分]如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．
    在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h．
    在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
    （1）请探究：图（2）--（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
    （2）证明图（2）所得结论；
    （3）证明图（4）所得结论．
    （4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：
    m（h1+h2+h3）-n（h1+h3-h4）=（m+n）h
    m（h1+h2+h3）-n（h1+h3-h4）=（m+n）h
    ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题：
    （1）若点P在一边BC上（图1），此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；
    （2）若当点P在△ABC内（图2），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；
    （3）若点P在△ABC外（图3），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系
    h=h1+h2-h3
    h=h1+h2-h3
    ．（请直接写出你的猜想，不需要说明理由．）

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