Question

13．已知关于x的一元二次方程x²-6x+k+3=0有两个不相等的实数根?
（1）求k的取值范围；
（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，再将k的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的k的值．

解答 解：（1）△=（-6）²-4（k+3）=36-4k-12=-4k+24，
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴-4k+24＞0．
解得 k＜6；

（2）∵k＜6且k为大于3的整数，
∴k=4或5．
①当k=4时，方程x²-6x+7=0的根不是整数．
∴k=4不符合题意；
②当k=5时，方程x²-6x+8=0根为x₁=2，x₂=4均为整数．
∴k=5符合题意．
综上所述，k的值是5．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
也考查了一元二次方程的解法．