Question

11．已知关于x的二次函数的图象与轴交于两点（-1，0 ），（3，0）两点，且图象过点（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出它的开口方向、对称轴．

Answer 1

分析 （1）根据与x轴的两个交点的坐标，设出二次函数交点式解析式y=a（x-3）（x+1），然后把点（0，3）的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式得到y=-（x-1）²+4，然后根据二次函数的性质求解；

解答 解：（1）∵二次函数的图象交x轴于（-1，0）、（3，0），
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x-3）（x+1）（a≠0）．
将x=0，y=3代入，得3=a（0-3）（0+1），
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-3）（x+1），
即y=-x²+2x+3．
（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
所以这个函数的图象的开口向下，对称轴为直线x=1．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．