Question

如图，抛物线y=x-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5.

（1）       求抛物线顶点A的坐标；

（2）       设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；

（3）       在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵顶点A的横坐标为x==1，且顶点A在y=x﹣5上，

∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，

∴A（1，﹣4）．

（2）△ABD是直角三角形．

将A（1，﹣4）代入y=x²﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，

∴y=x²﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）

当y=0时，x²﹣2x﹣3=0，x₁=﹣1，x₂=3

∴C（﹣1，0），D（3，0），

BD²=OB²+OD²=18，AB²=（4﹣3）²+1²=2，AD²=（3﹣1）²+4²=20，

BD²+AB²=AD²，

∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

（3）存在．

由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点A（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）

∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3

∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形

∴BD∥l，即PA∥BD

则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，

过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C

设P（x₁，x₁﹣5），则G（1，x₁﹣5）

则PC=|1﹣x₁|，AG=|5﹣x₁﹣4|=|1﹣x₁|

PA=BD=3

由勾股定理得：

（1﹣x₁）²+（1﹣x₁）²=18，x₁²﹣2x₁﹣8=0，x₁=﹣2，4

∴P（﹣2，﹣7），P（4，﹣1）

存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A．B．D．P为顶点的四边形是平行四边形．