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精英家教网如图,两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上,半径AE、CF交于点G,半径BE、CD交于点H,且点C是弧AB的中点,若扇形的半径为2,则图中阴影部分的面积等于(  )
A、π+4B、2π-2C、2π-4D、π-1
分析:根据扇形的面积公式求出面积,再过点C作CM⊥AE,作CN⊥BE,垂足分别为M、N,然后证明△CMG与△CNB全等,从而得到中间空白区域的面积等于以2为对角线的正方形的面积,从而得出阴影部分的面积.
解答:解:两扇形的面积和为:
nπr 2
360
=
180π×2 2
360
=2π,精英家教网
过点C作CM⊥AE,作CN⊥BE,垂足分别为M、N,
则四边形EMCN是矩形,
∵点C是 AB^的中点,
∴EC平分∠AEB,
∴CM=CN,
∴矩形EMCN是正方形,
∵∠MCG+∠FCN=90°,∠NCB+∠FCN=90°,
∴∠MCG=∠NCH,
∴△CMG≌△CHN(ASA),
∴中间空白区域面积相当于对角线是2的正方形面积,
∴空白区域的面积为:
1
2
×2×2=2,
∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和-2个空白区域面积的和=2π-4.
故选C.
点评:此题主要考查了扇形的面积求法以及三角形的面积等知识,得出四边形EGCH的面积是解决问题的关键.
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AB
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