Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上任意一点，DE垂直平分AB，垂足为E，且DE=DC．
（1）求∠B的度数；
（2）若CD=3，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线性质得出∠CAD=∠DAB，根据DE垂直平分AB推出DA=DB，求出∠B=∠DAB=∠CAD，得出3∠B=90°，求出即可；
（2）求出DE，根据∠B=30°，求出BD=2DE=6，求出BC，设AC=a，求出AB=2AC=2a，由勾股定理得出（2a）²=a²+9²，求出即可．

解答：解：（1）∵∠C=90°，
∴CD⊥AC，
∵DE垂直平分AB，DE=DC，
∴∠CAD=∠DAB，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠DAB+∠CAD=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°；

（2）∵CD=3，CD=DE，
∴DE=3，
∵∠B=30°，DE⊥AB，
∴DB=2DE=6，
∴BC=3+6=9，
设AC=a，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC=2a，
由勾股定理得：（2a）²=a²+9²，
a=3

3

，
AB=2a=6

3

．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形斜边上中线，线段垂直平分线性质，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的综合运用．