Question

11．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P为△ABC内一点，若AP=3，BP=5，CP=7，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 作辅助线，构建点P关于BC、AB、AC的对称点R、O、Q，把△ABC扩大为原来的2倍，组成五边形OBRCQ，求这个五边形OBRCQ的面积，可以得到结论；注意说明O、A、Q三点共线．

解答 解：作P关于BC、AB、AC的对称点R、O、Q，
连接OA、AQ、CQ、CR、BR、OB、OR、QR，
过O作OS⊥QR于S，
∵BO=BP=BR=3，
AP=AQ=AO=5，
PC=CQ=CR=7，
∠OAB=∠PAB，∠PAC=∠CAQ，
∵∠PAB+∠PAC=∠BAC=90°，
∴∠OAB+CAQ=90°，
∴∠OAB+∠BAC+CAQ=180°，
∴O、A、Q三点共线，
同理∠OBR=∠RCQ=90°，
∴S_△OBR=$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$，
S_△QRC=$\frac{1}{2}$×7×7=$\frac{49}{2}$，
∵OB=BR，∠OBR=90°，
∴△OBR是等腰直角三角形，
∴OR=$\sqrt{2}$OB=5$\sqrt{2}$，
同理RQ=7$\sqrt{2}$，
设RS=x，
在Rt△ORS中，OR²-RS²=OS²，
在Rt△OSQ中，OQ²-QS²=OS²，
∴OR²-RS²=OQ²-QS²，
∴（5$\sqrt{2}$）²-x²=6²-（7$\sqrt{2}$-x）²，
解得：x=4$\sqrt{2}$，
∴OS=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-（4\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴S_△ORQ=$\frac{1}{2}$RQ•OS=$\frac{1}{2}$×7$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=21，
∴S_{五边形OBRSQ}=21+$\frac{25}{2}$+$\frac{49}{2}$=58，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×58=29．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质及轴对称的性质，难度较大，图形也比较复杂；构建五边形是本题的关键，将五边形分成三个三角形计算其面积，才使问题得以解决．