Question

【题目】已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t上．
（1）求点C的坐标
（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0，则y=c，

故C（0，c），

∵OC的距离为3，

∴|c|=3，即c=±3，

∴C（0，3）或（0，﹣3）；

（2）

解：∵x1x2＜0，

∴x1，x2异号，

①若C（0，3），即c=3，

把C（0，3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=3，即t=3，

∴y2=﹣3x+3，

把A（x1，0）代入y2=﹣3x+3，则﹣3x1+3=0，

即x1=1，

∴A（1，0），

∵x1，x2异号，x1=1＞0，∴x2＜0，

∵|x1|+|x2|=4，

∴1﹣x2=4，

解得：x2=﹣3，则B（﹣3，0），

代入y1=ax2+bx+3得，，

解得：，

∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

则当x≤﹣1时，y随x增大而增大．

②若C（0，﹣3），即c=﹣3，

把C（0，﹣3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=﹣3，即t=﹣3，

∴y2=﹣3x﹣3，

把A（x1，0），代入y2=﹣3x﹣3，

则﹣3x1﹣3=0，

即x1=﹣1，

∴A（﹣1，0），

∵x1，x2异号，x1=﹣1＜0，∴x2＞0

∵|x1|+|x2|=4，

∴1+x2=4，

解得：x2=3，则B（3，0），

代入y1=ax2+bx+3得，，

解得：，

∴y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

则当x≥1时，y随x增大而增大，

综上所述，若c=3，当y随x增大而增大时，x≤﹣1；

若c=﹣3，当y随x增大而增大时，x≥1；

（3）

解：①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，

y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，

则当x≤﹣1﹣n时，y随x增大而增大，

y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x+3﹣n，

要使平移后直线与P有公共点，则当x=﹣1﹣n，y3≥y4，

即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，

解得：n≤﹣1，

∵n＞0，∴n≤﹣1不符合条件，应舍去；

②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，

y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，

则当x≥1﹣n时，y随x增大而增大，

y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x﹣3﹣n，

要使平移后直线与P有公共点，则当x=1﹣n，y3≤y4，

即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，

解得：n≥1，

综上所述：n≥1，

2n2﹣5n=2（n﹣）2﹣，

∴当n=时，2n2﹣5n的最小值为：﹣．

【解析】（1）利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用O，C两点间的距离为3求出即可；
（2）分别利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C（0，﹣3），即c=﹣3，得出A，B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；
（3）利用①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，得出y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而利用配方法求出函数最值．