Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=1，（a≠0）直线，且经过A（-1，0）、（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）设D是抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠DCB=90°的点D的坐标；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）已知抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式，进而可用配方法或公式法求得顶点D的坐标；
（2）若∠DCB=90°，根据△BCO为等腰直角三角形，可推出△CDF为等腰直角三角形，根据线段长度求D点坐标；
（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，先判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了点P的坐标．

解答：解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
由抛物线与y轴交于点C（0，-3），可知c=-3，
即抛物线的解析式为y=ax²+bx-3，
把A（-1，0）、B（3，0）代入，
得

a-b-3=0 9a+3b-3=0

解得a=1，b=-2．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）设经过C点且与直线BC垂直的直线为直线l，作DF⊥y轴，垂足为F；

∵OB=OC=3，
∴CF=DF=1，OF=OC+CF=4，
∴D（1，-4）．

（3）连接AC，则容易得出△COA∽△CAP，又△PCA∽△BCD，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合条件的点为P（0，0）．
过A作AP₁⊥AC交y轴正半轴于P₁，可知Rt△CAP₁∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为P₁（0，

1

3

）．
过C作CP₂⊥AC交x轴正半轴于P₂，可知Rt△P₂CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为P₂（9，0）．
∴符合条件的点有三个：O（0，0），P₁（0，

1

3

），P₂（9，0）．

点评：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识，（3）题中能够发现点O是符合要求的P点，是解决此题的突破口．