Question

如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．

(1)点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由．

(2)点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？

(3)若∠MON＝45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

答案：
解析：

(1)AE＝AD　　2分 　　(2)菱形　　3分 　　(法一)：连接DF、EF 　　∵点F与点A关于直线OP对称， 　　E、D在OP上， 　　∴AE＝FE，AD＝FD　　5分 　　由(1)得AE＝AD 　　∴AE＝FE＝AD＝FD 　　∴四边形ADFE是菱形　　7分 　　(法二)：连接AF交DE于点G，连接DF，EF．点F与点A关于直线OP对称可知：AF⊥DE，AE＝FE， 　　3分 　　∴AG＝FG， 　　又∵AE＝AD 　　∴DG＝EG 　　∴四边形ADFE是平行四边形　　6分 　　∵AF⊥DE 　　∴平行四边形ADFE是菱形　　7分 　　(3)OC＝AC＋AD　　8分 　　(法一)：证明：连接EF 　　∵点F与点A关于直线OP对称， 　　∴AO＝OF 　　∵AC⊥OM，∠MON＝45° 　　∴∠OAC＝90° 　　∴∠ACO＝∠MON＝45° 　　∴OF＝AO＝AC　　10分 　　由(2)知四边形ADFE是菱形 　　∴EF∥AB，AD＝EF 　　∵AB⊥ON 　　∴∠ABC＝90° 　　∴∠EFC＝∠ABC＝90° 　　∵∠ACO＝45° 　　∴∠ACO＝∠CEF 　　∴FC＝EF＝AD 　　又∵OC＝OF＋FC 　　∴OC＝AC＋AD　　12分 　　(法2)证明：连接EF 　　∵AC⊥OM，∠MON＝45° 　　∴∠OAC＝90° 　　∴∠ACO＝∠MON＝45° 　　∴AO＝AC 　　由(2)知四边形ADFE是菱形 　　∴EF∥ABAD＝EF 　　∵AB⊥ON 　　∴∠ABC＝90° 　　∴∠EFC＝∠ABC＝90° 　　∵∠ACO＝45° 　　∴∠FEC＝∠ACO＝45°　　9分 　　∴FC＝FE＝AD 　　∵∠AOE＝∠FOE 　　∵OE＝OE，∠OAC＝∠OFE＝90° 　　∵△OAE≌△OFE　　11分 　　∴OA＝OF 　　∴OF＝AC 　　又∵OF＋FC＝OC 　　∴AC＋AD＝OC　　12分 　　(法3)证明：延长EA到G点，使AG＝AE 　　∵∠OAE＝90° 　　∴OA⊥GE 　　∴OG＝OE 　　∴∠AOG＝∠EOA 　　∵∠AOC＝45°，OP平分∠AOC 　　∴∠AOE＝22.5° 　　∴∠AOG＝22.5°∠G＝67.5° 　　∴∠COG＝∠G＝67.5° 　　∴CG＝OC　　10分 　　由(1)得AD＝AE 　　∵AD＝AE＝AG 　　∴AC＋AD＝OC　　12分