Question

18．若关于x的方程$\frac{x}{x-2}$+$\frac{x-2}{x}$+$\frac{2x+m}{x（x-2）}$=0只有一个根，求m的值．

Answer 1

分析 先把方程两边都乘以x（x-2）得到关于x的一元二次方程2x²-2x+m+4=0，讨论：当整式方程有两个不相等的实数根且其中有一个为分式方程的增根，把x=0和x=2代入可计算出m=-4和m=8；当整式方程有两个相等的实数根，则利用判别式可计算出m=-$\frac{7}{2}$，并且判断此时方程的解为分式方程的解．

解答 解：去分母得x²+（x-2）²+2x+m=0，
整理得2x²-2x+m+4=0，
当x=0时，m+4=0，解得m=-4，
当x=2时，8-4+m+4=0，解得m=8，
所以m=4或m=8时，原方程只有一个根；
当△=（-2）²-4×2×（m+4）=0，解得m=-$\frac{7}{2}$，解得x₁=x₂=$\frac{1}{2}$，
而x=$\frac{1}{2}$是原方程的解，
所以m的值为-4或8或-$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了分式方程的解：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．注意分类讨论思想的运用．