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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4．
    （1）求点C的坐标；
    （2）如图，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A′CB′的位置，其中A’C交直线OA于点E，A’B’分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A′B′C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）
    （3）在（2）的基础上，将△A′CB′绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为
    		3
    4
    时，求直线CE的函数表达式．
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    分析：（1）首先在Rt△ACO中，根据∠CAO=30°解直角三角形可以得到OA，OC的长，然后就可以得到点C的坐标；
    （2）根据已知条件容易得到△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC；
    （3）过点E1作E1M⊥OC于点M，利用S△COE1=4和∠E1OM=60°可以求出点E1的坐标，然后利用待定系数法确定直线CE的解析式．此题有两种情况，分别是E在第二或四象限里．
    解答：解：（1）∵在Rt△ACO中，∠CAO=30°，OA=4，
    ∴OC=2，
    ∴C点的坐标为（-2，0）．精英家教网

    （2）△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC．

    （3）如图1，过点E1作E1M⊥OC于点M．
    ∵S△COE1=
    1
    2
    CO•E1M=
    		3
    4
    ，
    ∴E1M=
    		3
    4
    ．
    ∵在Rt△E1MO中，∠E1OM=60°，则
    -2k1+b1=0
    -
    1
    4
    k1+b1=
    		3
    4
    ，
    ∴tan60°=
    E1M
    OM
    &∴OM=
    1
    4
    ，
    ∴点E1的坐标为（-
    1
    4
    ，
    		3
    4
    ）．
    设直线CE1的函数表达式为y=k1x+b1，精英家教网则
    -2k1+b 1=0
    -
    1
    4
    k1+b1=
    		3
    4
    ，
    解得
    k1=
    		3
    7
    b1=
    2
    		3
    7
    ．
    ∴y=
    		3
    7
    x+
    2
    		3
    7
    ．
    同理，如图2所示，点E2的坐标为（
    1
    4
    ，-
    		3
    4
    ）．
    设直线CE2的函数表达式为y=k2x+b2，则
    -2k2+b2=0
    1
    4
    k2+b2=-
    		3
    4
    ，
    解得
    k2=-
    		3
    9
    b2=-
    2
    		3
    9
    ．
    ∴y=-
    		3
    9
    x-
    2
    		3
    9
    ．
    点评：此题是开放性试题，把直角三角形、全等三角形，一次函数等知识综合在一起，要求学生对这些知识比较熟练，利用几何方法解决代数问题．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
    x
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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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