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11.如图,矩形ABCD中,AD=a,AB=b,要使BC边上至少存在一点P,使△ABP、△APD、△CDP两两相似,则a,b间的关系式一定满足(  )
A.${a^2}≥\frac{1}{4}{b^2}$B.a2≥b2C.${a^2}≥\frac{9}{4}{b^2}$D.a2≥4b2

分析 本题可结合方程思想来解答.由于△ABP和△DCP相似,可得出关于AB、PC、BP、CD的比例关系式.设PC=x,那么BP=a-x,根据比例关系式可得出关于x的一元二次方程,由于BC边上至少有一点符合条件的P点,因此方程的△≥0,由此可求出a、b的大小关系.

解答 解:若设PC=x,则BP=a-x,
∵△ABP∽△PCD,
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{BP}{CD}$,即 $\frac{b}{x}$=$\frac{a-x}{b}$,
即x2-ax+b2=0方程有解的条件是:a2-4b2≥0,
∴a2≥4b2
故选D.0,

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.

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