Question

15．如图，0为原点，A（4，0），E（0，3），四边形OABC，四边形OCDE都为平行四边形，OC=5，函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过AB的中点F和DE的中点G，则k的值为9．

Answer 1

分析 （1）根据两平行四边形对边平行且相等可知：OE=3，OA=4，并由设出C、B、D的坐标；
（2）表示出点F和G的坐标，并根据反比例函数列等式，求出a与b的关系：3a=4b，a=$\frac{4b}{3}$；
（3）由OC的长及点C的坐标列式：a²+b²=5²，求出a与b的值；
（4）写出点G或点F的坐标，计算k的值．

解答 解：∵A（4，0），E（0，3），
∴OE=3，OA=4，
由?OABC和?OCDE得：OE∥DC，BC∥OA且DC=OE=3，BC=OA=4，
设C（a，b），则D（a，b+3）、B（4+a，b），
∵AB的中点F和DE的中点G，
∴G（$\frac{a}{2}，\frac{b+6}{2}$），F（$\frac{8+a}{2}，\frac{b}{2}$），
∵函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点G和F，
则$\frac{a}{2}•\frac{b+6}{2}=\frac{8+a}{2}•\frac{b}{2}$，
3a=4b，a=$\frac{4b}{3}$，
∵OC=5，C（a，b），
∴a²+b²=5²，
$（\frac{4b}{3}）^{2}+{b}^{2}={5}^{2}$，b=±3，
∵b＞0，
∴b=3，a=4，
∴F（6，$\frac{3}{2}$），
∴k=6×$\frac{3}{2}$=9；
故答案为：9．

点评 本题考查了平行四边形及反比例函数的性质，根据坐标特点及平行四边形对边平行相等的性质，利用点C的坐标表示出点B和D的坐标是本题的突破口，找出两组等量关系列方程是本题的关键；同时利用待定系数法求反比例函数的比例系数．