Question

97、如图①，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点，过点P作PE⊥AC，PD⊥AB，垂足为D、E，再过C作CF⊥AB于点F；（1）求证：PD+PE=CF；（2）若点P在BC的延长线上，如图②，则PE、PD、CF之间存在什么样的等量关系，请写出你的猜想，并证明．

Answer 1

分析：要证明两条线段的和等于其中一条线段，需要作辅助线：延长较短线段，把两条加到一起或在较长线段上截取．
（1）可以作PM⊥CF，构造了矩形和一对全等三角形；
（2）类比（1）中的结论，很容易得到猜想，再进一步证明就可．

解答：证明：（1）作PM⊥CF，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，
∴∠FAP=∠DFM=∠FMP=90°，
∴四边形PDFM是矩形，
∴PD=FM．
∵PE⊥AC，且PM⊥CF，
∴∠PMC=∠CEP=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AB⊥FC，PM⊥FC，
∴AB∥PM，
∴∠MPC=∠B，
∴∠MPC=∠ECP，
∵PC=CP，
∴△PMC≌△PEC（AAS），
∴CM=PE，
∴PD+PE=FM+MC=CF；

（2）PD-PE=CF；
证明如下：
作CM⊥PD于M，同（1）得四边形CMDF是矩形，则CF=DM，
∴CM∥AB，∴∠MCP=∠B，
又∠ACB=∠ECP（对顶角相等），
且AB=AC得到∠B=∠ACB，
∴∠MCP=∠ECP，
又PE⊥AC，CM⊥PD，∴∠PMC=∠PEC=90°，
再PC=PC，
∴△PCM≌△PCE（AAS），
∴PM=PE，
∴PD-PE=PD-PM=DM=CF．

点评：本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；解答此题的关键是辅助线的作法，把证明两条线段的和或差等于一条线段转化为证明两条线段相等的问题．