Question

已知一次函数y₁=x+m的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．已知当x＞1时，y₁＞y₂；当0＜x＜1时，y₁＜y₂．
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根据x＞1时，y₁＞y₂，0＜x＜1时，y₁＜y₂确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答；
（2）根据点C到y轴的距离判断出点C的横坐标，代入反比例函数解析式求出纵坐标，从而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D的坐标，然后得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，然后△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解．
解答：解：（1）∵当x＞1时，y₁＞y₂；当0＜x＜1时，y₁＜y₂，
∴点A的横坐标为1，
代入反比例函数解析式，=y，
解得y=6，
∴点A的坐标为（1，6），
又∵点A在一次函数图象上，
∴1+m=6，
解得m=5，
∴一次函数的解析式为y₁=x+5；

（2）∵第一象限内点C到y轴的距离为3，
∴点C的横坐标为3，
∴y==2，
∴点C的坐标为（3，2），
过点C作CD∥x轴交直线AB于D，
则点D的纵坐标为2，
∴x+5=2，
解得x=-3，
∴点D的坐标为（-3，2），
∴CD=3-（-3）=3+3=6，
点A到CD的距离为6-2=4，
联立，
解得（舍去），，
∴点B的坐标为（-6，-1），
∴点B到CD的距离为2-（-1）=2+1=3，
S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=×6×4+×6×3=12+9=21．
点评：本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，根据已知条件先判断出点A的横坐标是解题的关键．