Question

11．如图①，已知点D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且M为EC的中点．
（1）连接DM并延长交BC于N，求证：CN=AD；
（2）求证：△BMD为等腰直角三角形；
（3）将△ADE绕点A逆时针旋转90°时（如图②所示位置），△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠ABC=∠ADE=90°可得DE∥BC，再根据平行线的性质，推出∠DEM=∠MCB，根据ASA推出△EMD≌△CMN，证出CN=ED，因为AD=DE，即可得到CN=AD；
（2）由（1）可知CN=AD，DM=MN，再由AB=AC，可得BD=BN，从而可得△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边DN上的中线，再利用等腰三角形的三线合一的性质和直角三角形的性质即可得到△BMD为等腰直角三角形；
（3）作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，根据平行线的性质求出∠E=∠NCM，根据ASA证△DBA≌△NBC，推出△DBN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出△BMD为等腰直角三角形．

解答 （1）证明：如图1，
∵∠EDA=∠ABC=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠NCM}\\{EM=CM}\\{∠EMD=∠CMN}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE，
∵AD=DE，
∴CN=AD；
（2）证明：由（1）得∴△EMD≌△CMN，
∴CN=AD，DM=MN，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，BM=$\frac{1}{2}$DN=DM，
∴△BMD为等腰直角三角形；
（3）答：△BMD为等腰直角三角形的结论仍成立，
证明：如图2，作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，
∴∠E=∠MCN=45°，
∵∠DME=∠NMC，EM=CM，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
又∵∠DAB=180°-∠DAE-∠BAC=90°，
∠BCN=∠BCM+∠NCM=45°+45°=90°，
∴∠DAB=∠BCN，
在△DBA和△NBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=CN}\\{∠DAB=∠BCN}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBA≌△NBC（SAS），
∴∠DBA=∠NBC，DB=BN，
∴∠DBN=∠ABC=90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，∠DBM=$\frac{1}{2}$∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD为等腰直角三角形．

点评 本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用．