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    【背景】小明和小亮研究一道习题：“已知m＞n＞0，若分式
    n
    m
    的分子、分母都加上1，所得的分式
    n+1
    m+1
    的值增大了还是减小了？”．
    小明想到了“用
    n
    m
    减去
    n+1
    m+1
    判断差的正负性”的思路；
    小亮的想法是“可以直接将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”．
    两人的解题思路都正确．
    【问题】
    （1）小亮提出问题：已知m＞n＞1，分式
    n
    m
    的分子、分母都减去1后所得的分式
    n-1
    m-1
    的值增大了还是减小了？请你探索解答这个问题．
    （2）小明进一步提出问题：已知m＞n＞a，分式
    n
    m
    的分子、分母都减去a后，所得分式
    n-a
    m-a
    的值增大了还是减小了？请你探索解答这个问题．
    分析：（1）先把
    n
    m
    -
    n-1
    m-1
    进行化简，再根据m＞n＞1进行判断即可；
    （2）先把
    n
    m
    -
    n-a
    m-a
    进行化简，再分m＞n＞a＞0，0＞m＞n＞a，a＜n＜0＜m，a＜0＜n＜m四种情况进行讨论．
    解答：解：（1）
    n
    m
    -
    n-1
    m-1
    =
    n(m-1)-m(n-1)
    m(m-1)
    =
    m-n
    m(m-1)
    ，
    ∵m＞n＞1，
    ∴m-n＞0，m（m-1）＞0，
    ∴
    m-n
    m(m-1)
    ＞0，即
    n
    m
    ＞
    n-1
    m-1
    ，
    ∴分式
    n
    m
    的分子、分母都减去1后所得的分式
    n-1
    m-1
    的值减小了；


    （2）
    n
    m
    -
    n-a
    m-a
    =
    n(m-a)-m(n-a)
    m(m-a)
    =
    (m-n)a
    m(m-a)
    ，
    ∵m＞n＞a，
    ∴当m＞n＞a＞0时，（m-n）a＞0，m（m-a）＞0，
    ∴
    n
    m
    ＞
    n-a
    m-a
    ；
    当0＞m＞n＞a时，（m-n）a＜0，m（m-a）＜0，
    ∴
    (m-n)a
    m(m-a)
    ＞0，
    ∴
    n
    m
    ＞
    n-a
    m-a
    ；
    当m＞0，n＜0时，a＜n＜0，
    ∴（m-n）a＜0，m（m-a）＞0，
    ∴
    (m-n)a
    m(m-a)
    ＜0，即
    n
    m
    ＜
    n-a
    m-a
    ；
    当m＞n＞0，a＜0时，（m-n）a＜0，m（m-a）＞0，
    ∴
    (m-n)a
    m(m-a)
    ＜0，即
    n
    m
    ＜
    n-a
    m-a
    ．
    点评：本题考查的是分式的加减法，在解答（2）时要注意进行分类讨论，不要漏解．
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    【背景】小明和小亮研究一道习题：“已知m＞n＞0，若分式数学公式的分子、分母都加上1，所得的分式数学公式的值增大了还是减小了？”．
    小明想到了“用数学公式减去数学公式判断差的正负性”的思路；
    小亮的想法是“可以直接将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”．
    两人的解题思路都正确．
    【问题】
    （1）小亮提出问题：已知m＞n＞1，分式数学公式的分子、分母都减去1后所得的分式数学公式的值增大了还是减小了？请你探索解答这个问题．
    （2）小明进一步提出问题：已知m＞n＞a，分式数学公式的分子、分母都减去a后，所得分式数学公式的值增大了还是减小了？请你探索解答这个问题．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    【背景】小明和小亮研究一道习题：“已知m＞n＞0，若分式
    n
    m
    的分子、分母都加上1，所得的分式
    n+1
    m+1
    的值增大了还是减小了？”．
    小明想到了“用
    n
    m
    减去
    n+1
    m+1
    判断差的正负性”的思路；
    小亮的想法是“可以直接将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”．
    两人的解题思路都正确．
    【问题】
    （1）小亮提出问题：已知m＞n＞1，分式
    n
    m
    的分子、分母都减去1后所得的分式
    n-1
    m-1
    的值增大了还是减小了？请你探索解答这个问题．
    （2）小明进一步提出问题：已知m＞n＞a，分式
    n
    m
    的分子、分母都减去a后，所得分式
    n-a
    m-a
    的值增大了还是减小了？请你探索解答这个问题．

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