Question

17．如图，已知抛物线y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c经过A（0，4），B（3，0）两点，与x轴负半轴交于点C，连接AC、AB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，P为DE上的动点，PQ⊥BC，垂足为Q，QN⊥AB，垂足为N，连接PN．
①当△PQN与△ABC相似时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得PQ=NQ，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A（0，4），B（3，0）代入抛物线的解析式得到关于b、c的二元一次方程组，然后解得b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）①先求得BC=4，AB的长，接下来依据平行线分线段成比例定理得到PQ=DO=2，然后证明∠PQN=∠QBN，由相似三角形的判定定理可知当$\frac{PQ}{QN}=\frac{AB}{CB}$或$\frac{PQ}{QN}=\frac{CB}{AB}$时，△PQN与△ABC相似，从而可求得BQ的长，从而得到点P的坐标；
②由题意可知QN=2，然后再求得sin∠ABO=$\frac{4}{5}$，最后在△QBN中，依据锐角三角函数的定义可求得QB的长，从而得到点P的坐标．

解答 解：（1）将A（0，4），B（3，0）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-12+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得；b=$\frac{8}{3}$，c=4．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{3}{x}^{2}$+$\frac{8}{3}$x+4．
（2）①如图1所示：

∵令y=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴C（-1，0）．
∴BC=4，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵D、E分别为AC、AB的中点，
∴DE∥BC．
∴$\frac{AD}{DC}=\frac{AF}{FO}$=1．
∴PQ=DO=2．
∵PQ⊥BC，QN⊥AB，
∴∠PQN+∠NQB=90°，∠NQB+∠QBN=90°．
∴∠PQN=∠QBN．
∴当$\frac{PQ}{QN}=\frac{AB}{CB}$或$\frac{PQ}{QN}=\frac{CB}{AB}$时，△PQN与△ABC相似．
∵当$\frac{PQ}{QN}=\frac{AB}{CB}$时，$\frac{2}{QN}=\frac{5}{4}$，解得；QN=$\frac{8}{5}$．
∵$\frac{QN}{QB}=\frac{OB}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴QB=$\frac{5}{4}$QN=$\frac{5}{4}$×$\frac{8}{5}$=2．
∴OQ=3-2=1．
∴点P的坐标为（1，2）．
当$\frac{PQ}{QN}=\frac{CB}{AB}$时，$\frac{2}{QN}=\frac{4}{5}$，解得；QN=2.5．
∵$\frac{QN}{QB}=\frac{OB}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴QB=$\frac{5}{4}$QN=$\frac{5}{4}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{8}$．
∴OB-BQ=-$\frac{1}{8}$．
∴点P的坐标为（-$\frac{1}{8}$，2）．
综上所述点P的坐标为（1，2）或（-$\frac{1}{8}$，2）．
②如图2所示：

∵PQ=QN，PQ=2，
∴QN=2．
∵QN⊥AB，
∴∠QNB=90°．
∵由（2）可知OA=4，AB=5，
∴sin∠ABO=$\frac{4}{5}$．
∴$\frac{QN}{QB}=\frac{4}{5}$，即$\frac{2}{QB}=\frac{4}{5}$，解得；QB=$\frac{5}{2}$．
∴OQ=OB-QB=3-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∴P（$\frac{1}{2}$，2）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数的定义以及勾股定理，证得当当$\frac{PQ}{QN}=\frac{AB}{CB}$或$\frac{PQ}{QN}=\frac{CB}{AB}$时，△PQN与△ABC相似是解题的关键．