Question

9．△ABC中，DE垂直平分BC，∠BAC的平分线交DE于E，EF⊥AB交直线AB于F．
（1）如图①，求证：AC+AB=2AF；
（2）当∠BAC外角平分线交DE于E时，如图②、如图③，AC、AB、AF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（2）的条件下，若AB+AC=10，AF=2，则AB=3或7．

Answer 1

分析 （1）如图①，由DE垂直平分BC，得到BE=CE，由∠BAC的平分线交DE于E，EF⊥AB，得到EF=EG，根据全等三角形的性质得到BF=CG，AF=AG，即可得到结论；
（2）如图②，过E作EN⊥AC于N，并连接EB、EC，可证得△FAE≌△NAE，进一步可证得△EFB≌△ENC，可得到AC=2AF+AB，如图③，过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，推出DN=DF，DB=DC，根据HL证Rt△DBF≌Rt△DCN，推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可；
（3）如图根据已知条件代入数据即可得到结论．

解答 解：（1）如图①，过E作EG⊥AC于G，连接BE，CE，
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∵∠BAC的平分线交DE于E，EF⊥AB，
∴EF=EG，
在Rt△BEF与Rt△CEG中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CE}\\{EF=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△BEF≌Rt△CEG，
∴BF=CG，
在△AEF与△AEG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠AGE}\\{∠FAE=∠GAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGE，
∴AF=AG，
∵AB+AC=AB+AG+CG=AB+BF+AF=2AF；

（2）如图②，过E作EN⊥AC于N，并连接EB、EC．
∵EA平分∠FAC，
∴∠EAF=∠EAN，
∵EF⊥AB，EN⊥AC，
∴∠EFA=∠ENA=90°，
在△FAE和△NAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFA=∠ENA}\\{∩EAF=EAN}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△NAE（AAS），
∴EF=EN，AF=AN，
∵DE垂直平分BC，
∴EB=EC，
在Rt△EFB和Rt△ENC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EN}\\{EB=EC}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFB≌Rt△ENC（HL），
∴FB=NC，
∴AC=AN+NC=AF+BF=2AF+AB；
如图③，过E作EN⊥AC，垂足为N，连接EB、EC，
则EN=EF（角平分线性质），EB=EC（线段垂直平分线性质），
又∵EF⊥AB，EN⊥AC，
∴∠EFB=∠ENC=90°，
在Rt△EBF和Rt△ECN中
∵$\left\{\begin{array}{l}{EB=EC}\\{EF=EN}\end{array}\right.$，
∴Rt△EBF≌Rt△ECN（HL）
∴BF=CN，
在Rt△EFA和Rt△DNA中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EF=EN}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFA≌Rt△ENA（HL）
∴AN=AF，
∴BF=AC+AN=AC+AF，
∴AB=AC+2AF；

（3）如图②，∵AB+AC=10，AF=2，
∴AC=10-AB，
∵AC=AN+NC=AF+BF=2AF+AB，
∴10-AB=4+AB，
∴AB=3；
如图③∵AB=AC+2AF，
∴AB=10-AB+4，
∴AB=7．
综上所述AB=3，或AB=7．
故答案为：3或7．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会添加适当的辅助线，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键．