Question

19．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D、F在x轴上，点C在DE边上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过点B、C和边EF的中点M，若正方形ABCD的边长为2，则正方形DEFG的面积为$\frac{32}{9}$．

Answer 1

分析 作BH⊥y轴于H，连结EG交x轴于P，利用正方形DEFG的顶点D、F在x轴上，点C在DE边上，则∠EDF=45°，于是可判断△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，再根据正方形面积公式得到AB=AD=$\sqrt{2}$，所以求得OD=OA=AH=BH=1，则B点坐标为（1，2），接着根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k得到反比例函数解析式，设DN=a，则EN=NF=a，根据正方形的性质易得E（a+1，a），F（2a+1，0），然后利用线段中点坐标公式得到M点的坐标为（$\frac{3a+2}{2}$，$\frac{a}{2}$），再根据反比例函数图象上点的坐标特征$\frac{3a+2}{2}$•$\frac{a}{2}$=2，接着解方程求出a的值，最后计算正方形DEFG的面积．

解答 解：作BH⊥y轴于H，连结EG交x轴于N，如图，
∵正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D、F在x轴上，点C在DE边上，
∴∠EDF=45°，
∴∠ADO=45°，
∴∠DAO=∠BAH=45°，
∴△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，
∵S_{正方形ABCD}=2，
∴AB=AD=$\sqrt{2}$，
∴OD=OA=AH=BH=$\frac{1}{\sqrt{2}}$×$\sqrt{2}$=1，
∴B点坐标为（1，2），
把B（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$，
设DN=a，则EN=NF=a，
∴E（a+1，a），F（2a+1，0），
∵M点为EF的中点，
∴M点的坐标为（$\frac{3a+2}{2}$，$\frac{a}{2}$），
∵点M在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，
∴$\frac{3a+2}{2}$•$\frac{a}{2}$=2，
整理得3a²+2a-8=0，解得a₁=$\frac{4}{3}$，a₂=-2（舍去），
∴正方形DEFG的面积=2•$\frac{1}{2}$EN•DF=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{8}{3}$=$\frac{32}{9}$．
故答案为$\frac{32}{9}$．

点评 本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；理解坐标与图形性质，记住线段中点的坐标公式；会解一元二次方程．