Question

7．如图，A的坐标是（0，4），点C是x轴上的一个动点，点B与点O在直线AC两侧，∠BAC=∠OAC，BC⊥AC，点B的坐标为（x，y），y与x的函数关系式为（　　）

• A． y=8x
• B． y=$\frac{8}{x}$
• C． y=$\frac{1}{16}{x}^{2}$
• D． y=$\frac{16}{x}$

Answer 1

分析 过点B作BD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥AB于点E，通过角的计算结合全等三角形以及相似三角形的判定即可得出△AOC∽△CDB和△CBE≌△CBD，进而即可得出CE=CD以及$\frac{BD}{CD}=\frac{CO}{AO}$，再根据点B和点A的坐标即可得出y关于x的函数关系式．

解答 解：过点B作BD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥AB于点E，如图所示．
∵∠BAC=∠OAC，
∴CO=CE．
∵∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠DCB=90°，∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠OCA=∠DBC，
又∵∠AOC=∠CDB=90°，
∴△AOC∽△CDB．
∵∠BAC=∠OAC，∠AOC=∠ACB=90°，
∴∠ACO=∠ABC=∠CBE=∠CBD．
在△CBE和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠CBD}\\{∠CEB=∠CDB=90°}\\{CB=CB}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CBD（AAS），
∴CE=CD．
∵△AOC∽△CDB，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{CO}{AO}$，即$\frac{y}{|\frac{1}{2}x|}=\frac{|\frac{1}{2}x|}{4}$，
∴y=$\frac{1}{16}{x}^{2}$．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是根据相似三角形的性质找出y关于x的函数关系式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系是关键．