Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：y=

4

3

x与直线l₂：y=kx+b相交于点A，点A的横坐标为3，直线l₂交x轴、y轴于分别于点E、点B，且|OA|=

1

2

|OB|．
（1）试求△AOE的面积是多少？
（2）若将直线l₁沿着x轴向左平移3个单位，交y轴于点C，交直线l₂于点D．试求△BCD的面积．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题,一次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）根据A点的横坐标和直线l₁的解析式，得出A点的纵坐标，即可得出OA的长度，从而可得出OB的长度，即得点B的坐标，分别代入直线l₂的解析式中，解方程组即可得出直线l₂的解析式，然后求得E点的坐标即可计算面积；
（2）根据平移的性质，得出平移后的直线l₁的解析式，可得出点C的坐标，联立直线l₂的解析式，即可得出点D的坐标，即可根据三角形面积公式即可得出．

解答：解：（1）根据题意，点A的横坐标为3，
代入直线l₁：y=

4

3

x中，
得点A的纵坐标为4，
即点A（3，4）；
即OA=5，
又|OA|=

1

2

|OB|．
即OB=10，且点B位于y轴上，
即得B（0，-10）；
将A、B两点坐标代入直线l₂中，得
4=3k+b；
-10=b；
解之得，k=

14

3

，b=-10；
即直线l₂的解析式为y=

14

3

x-10，
令y=

14

3

x-10=0，
解得：x=

15

7

，
∴E（

15

7

，0），
∴△AOE的面积为

1

2

×

15

7

×4=

30

7

；

（2）根据题意，
设平移后的直线l₁的解析式为y=

4

3

x+m，代入（-3，0），
可得：-4+m=0，
解得：m=4，
平移后的直线l₁的直线方程为y=

4

3

x+4；
即点C的坐标为（0，4）；
联立线l₂的直线方程，
解得x=

21

5

，y=

48

5

，
即点D（

21

5

，

48

5

）；
又点B（0，-10），如图所示：
故△BCD的面积S=

1

2

×

21

5

×14=

147

5

．

点评：本题主要考查了一次函数的综合应用，要求学生在学习的过程中要挖掘问题中的隐含条件，理解题意．