Question

【题目】如图，直线AB过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）．

（1）求直线AB和抛物线的函数关系式；

（2）在抛物线上是否存在一点D，使得S△OAD＝S△OBC？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）a＝1，y＝x2；（2）点D坐标为或

【解析】

（1）已知直线AB经过A（2，0），B（1，1），设直线表达式为y=ax+b，可求直线解析式；将B（1，1）代入抛物线y=ax2可求抛物线解析式；

（2）已知A，B，C三点坐标，根据作差法可求△OBC的面积，在△DOA中，已知面积和底OA，可求OA上的高，即D点纵坐标，代入抛物线解析式求横坐标，得出D点坐标．

解：（1）设直线AB关系式为y＝kx+b∵A（2，0），B（1，1）都在直线y＝kx+b的图象上，

∴

解得，

∴直线AB关系式为y＝﹣x+2，

∵点B（1，1）在y＝ax2的图象上，

∴a＝1，其关系式为y＝x2；

（2）如图，存在点D，设D（x，x2），

∴

由题意得，

解得或，

∴C（﹣2，4），

∴，

∵S△BOC＝S△OAD，

∴x2＝3，

解得，

∴点D坐标为或．