Question

观察下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1，
（x-1）（x²+x+1）=x³-1，
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，
（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1，
（1）根据前面各式的规律可得：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=

xⁿ⁺¹-1

（其中n为正整数）．
（2）根据（1）求1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³的值，并求出它的个位数字．

Answer 1

分析：（1）根据各式的规律即可用n表示出结果；
（2）将所求式子乘以1，即2-1，利用上述规律即可得到结果；再由2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…，个位数字分别为2，4，8，6循环，且64÷4=16，即可得出结果的个位数字．

解答：解：（1）根据各式的规律可得：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=xⁿ⁺¹-1；

（2）根据各式的规律得：1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³=（2-1）（2⁶³+2⁶²+…+2³+2²+2+1）=2⁶⁴-1，
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…，且64÷4=16，
∴2⁶⁴个位上数字为6，
则1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³的个位数字为5．
故答案为：（1）xⁿ⁺¹-1．

点评：此题考查了平方差公式的应用，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．