【题目】如图抛物线y=x2+bx+c(c<0)与x轴交于A、B两点,(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D,且OB=OC=3,点E为线段BD上的一个动点,EF⊥x轴于F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在点E,使△ECF为直角三角形?若存在,求点E的坐标;不存在,请说明理由;
(3)连接AC、BC,若点P是抛物线上的一个动点,当P运动到什么位置时,∠PCB=∠ACO,请直接写出点P的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)存在,(,﹣3)或(3﹣3,6﹣12);(3)(,﹣)或(4,5)
【解析】
(1)易求得点B,C坐标,即可求得b、c的值,即可解题;
(2)易求得顶点D的坐标,即可求得直线BD的解析式,根据∠CEF=90°,即可求得点E纵坐标为﹣3,即可解题;
(3)存在2种情况:①∠PCB=∠ACO,②∠P'CB=∠ACO,可分别求得tan∠PCE的值,即可求得直线PC斜率,即可求得直线PC于抛物线交点P坐标,即可解题.
解:(1)∵OB=OC=3,
∴点B坐标为(3,0),点C坐标为(0,﹣3),
∵抛物线y=x2+bx+c经过点B,C,∴,
解得:c=﹣3,b=﹣2,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3,
∴点D坐标为(1,﹣4),
∵直线BD经过点B,D,设直线BD解析式为y=kx+b,
则,
解得:k=2,b=﹣6,
∴直线BD解析式为y=2x﹣6,
∵△ECF为直角三角形,
当∠CEF=90°时,E点纵坐标和等于C点纵坐标,
∴点E纵坐标为﹣3,
∴点E横坐标为,
∴点E坐标为(,﹣3);
当∠FCE=90°时,
∵EF⊥x轴,所以易得△CFO∽FEC,
∴,即EFOC=CF2,=OF2+OC2,
设OF=m,因此F的坐标为(m,0)代入直线BD的方程y=2x﹣6得E的坐标为(m,2m﹣6),
∴EF=6﹣2m,
∴(6﹣2m)×3=m2+9,解得m=3﹣3(负值舍去),
∴点E的坐标为(3﹣3,6﹣12)
综上可得存在这样的点E,E点的坐标为(,﹣3)或(3﹣3,6﹣12).
(3)存在2种情况:
①∠PCB=∠ACO,
∵∠BCE=45°,
∴tan∠BCE=1,
∵tan∠ACO=,
∴tan∠PCB=,
∴tan∠PCE=tan(∠BCE﹣∠PCB)=,
∵直线PC经过点P,
∴直线PC解析式为:y=x﹣3,
∴点P坐标为:(,﹣),
②∠P'CB=∠ACO,
∵∠BCE=45°,
∴tan∠BCE=1,
∵tan∠ACO=,
∴tan∠P'CB=,
∴tan∠P'CE=tan(∠BCE﹣∠P'CB)=,
∵直线PC经过点P,
∴直线PC解析式为:y=2x﹣3,
∴点P坐标为:(4,5).
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【题目】已知抛物线经过点,现将抛物线沿轴翻折,并向左平移1个单位长度后得到物线.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若抛物线与轴交于,两点(点在点右侧),点在抛物线对称轴上一点,为坐标原点,则抛物线上是否存在点,使以,,,为顶点的四边形是干行四边形?若存在,求出点的坐标:若不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示,二次函数的图象与轴交于点、,与轴交于点,直线经过点、.
(1)求抛物线的表达式;
(2)过点的直线交抛物线于点,交直线于点,连接,当直线平分的面积时,求点的坐标;
(3)如图所示,把抛物线位于轴上方的图象沿轴翻折,当直线与翻折后的整个图象只有三个交点时,求的取值范围.
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【题目】如图,是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°,180°,270°后形成的图形.若∠BAD=60°,AB=2,则图中阴影部分的面积为 .
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【题目】某校为迎接县中学生篮球比赛,计划购买A、B两种篮球共20个供学生训练使用.若购买A种篮球6个,则购买两种篮球共需费用720元;若购买A种篮球12个,则购实两种篮球共需费用840元.
(1)A、B两种篮球共需单价各多少元?
(2)设购买A种篮球x个且A种篮球不少于8个,所需费用为y元,试确定y与x的关系式.
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【题目】为全面推进“三供一业”分离移交工作,甲、乙两个工程队承揽了某社区2400米的电路管道铺设工程.已知甲队每天铺设管道的长度是乙队每天铺设管道长度的1.5倍,若两队各自独立完成1200米的铺设任务,则甲队比乙队少用10天.
(1)求甲、乙两工程队每天分别铺设电路管道多少米;
(2)若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天,则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?
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【题目】如图:甲、乙两地相距,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地,线段和折线分别表示货车和轿车离甲地的距离与货车出发时间之间的函数关系,请根据图象解答下列问题:
(1)货车的速度为___________,当轿车到达乙地后,货车距乙地的距离为____________千米;
(2)求轿车改变速度后与的函数关系式;
(3)轿车到达乙地后,马上沿原路以段速度返回,求轿车从乙地出发后多长时间再次与货车相遇?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的边长为2,∠AOC=60°,点D为AB边上的一点,经过O,A,D三点的抛物线与x轴的正半轴交于点E,连结AE交BC于点F,当DF⊥AB时,CE的长为__.
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