Question

35、你能比较两个数2006²⁰⁰⁷和2007²⁰⁰⁶的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n≥1的整数）．然后从分析n=1，n=2，n=3…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
（1）通过计算：比较①～⑦各组两个数的大小（在横线上填“＞”“=”“＜”）
①1²

＜

2¹；②2³

＜

3²；③3⁴

＞

4³；④4⁵

＞

5⁴；⑤5⁶

＞

6⁵；
⑥6⁷

＞

7⁶；⑦7⁸

＞

8⁷；
（2）从上面各小题目的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是nⁿ⁺¹

当n=1或n=2时，n ⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（n+1）ⁿ
（3）根据上面归纳猜想到的结论，可以得到2006²⁰⁰⁷

＞

2007²⁰⁰⁶（填“＞”“=”“＜”）

Answer 1

分析：先通过计算比较（1）中的数据大小．
从（1）中通过归纳可以得出nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ的大小关系是当n=1或n=2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n≥3时，n ⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
直接利用（2）中结论得出（3）中的答案即可．

解答：解：（1）①1²＜2¹；②2³＜3²；③3⁴＞4³；④4⁵＞5⁴；⑤5⁶＞6 ⁵⑥6⁷＞7⁶；⑦7⁸＞8⁷；

（2）当n=1或n=2时，n ⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n≥3时，n ⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）2006²⁰⁰⁷＞2007²⁰⁰⁶．

点评：本题主要考查了学生的归纳总结的数学能力．解题关键是会从材料中找到数据之间的关系，并利用数据之间的规律总结出一般结论，然后利用结论直接进行解题．