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    12、对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
    ①若a+c=0，方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；
    ②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；
    ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
    ④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立，其中正确的只有（　　）
    分析：①根据根的判别式即可作出判断；
    ②方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则△=b2-4ac＞0，判断方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的实数根，只要证明方程的判别式的值大于0即可；
    ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则代入即可作出判断；
    ④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，即方程有实根，判别式△≥0，结合m是方程的根，代入一定成立，即可作出判断．
    解答：解：①因为a+c=0，a≠0，所以①a、c异号，所以△=b2-4ac＞0，所以方程有两个不等的实数根；
    ②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则△=b2-4ac＞0，所以方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；
    ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，当c=0时，ac+b+1=0不一定成立；
    ④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c），而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2=4a[-（bm+c）]+4abm+b2=-4abm-4ac+b2=b2-4ac．
    所以①②④成立．
    故选D
    点评：本题是对根的判别式与一元二次方程的综合考查，试题在求解的过程中可以利用方程解的定义以及恒等变形求解．
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    有一根为1的一元二次方程

    对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果a＋b＋c＝0，那么它的两个根分别为x1＝1，x2＝．说明如下：

    由于a＋b＋c＝0，则c＝－a－b

    将c＝－a－b代入原方程，得ax2＋bx－a－b＝0．

    即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，所以(x－1)(ax＋a＋b)＝0

    解得x1＝1，x2＝．

    请利用上面推导出来的结论，快速求解下列方程：

    (1)3x2－5x＋2＝0，x1＝________，x2＝________；

    (2)7x2－4x－3＝0，x1＝________，x2＝________；

    (3)13x2＋7x－20＝0，x1＝________，x2＝________；

    (4)x2－(＋1)x＋＝0，x1＝________，x2＝________；

    (5)2004x2－2003x－1＝0，x1＝________，x2＝________；

    (6)(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0(b≠c)，x1＝________，x2＝________；

    (7)请你写出3个一元二次方程，使它们都有一个根是1．

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    科目：初中数学 来源：三点一测丛书九年级数学上 题型：022

    有一根为1的一元二次方程

    　　对于关于x的一元一次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果a＋b＋c＝0，那么它的两个根分别为x1＝1，x2＝．说明如下：

    　　由于a＋b＋c＝0，则c＝－a－b

    　　将c＝－a－b代入原方程，得ax2＋bx－a－b＝0．

    　　即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，所以(x－1)(ax＋a＋b)＝0

    　　解得x1＝1，x2＝．

    请利用上面推导出来的结论，快速求解下列方程：

    (1)3x2－5x＋2＝0，　　　　　　　(2)7x2－4x－3＝0，

    x1＝________，x2＝________；　　x1＝________，x2＝________；

    (3)13x2＋7x－20＝0，　　　　　　(4)x2－(＋1)x＋＝0，

    x1＝________，x2＝________；　　x1＝________，x2＝________；

    (5)2004x2－2003x2－1＝0，x1＝________；x2＝________；

    (6)(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0(b≠c)，

    x1＝________，x2＝________．

    (7)请你写出3个一元二次方程，使它们都有一个根是1．

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