Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象交于点A（m，2），将直线y=2x向下平移后与反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象交于点P，且△POA的面积为2．
（1）求k的值．
（2）求平移后的直线的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）由点A的纵坐标求得m，即点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数中即可；
（2）方法一、先求出PM，再求出BN然后用锐角三角函数求出OB，即可．
方法二、先设出点P的坐标，利用△POA的面积为2．建立方程求出点P的坐标，即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（m，2）在直线y=2x，
∴2=2m，
∴m=1，
∴点A（1，2），
∵点A（1，2）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=2，
（2）方法一、如图，

设平移后的直线与y轴相交于B，过点P作PM⊥OA，BN⊥OA，AC⊥y轴
由（1）知，A（1，2），
∴OA=$\sqrt{5}$，sin∠BON=sin∠AOC=$\frac{AC}{OA}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵S_△POA=$\frac{1}{2}$OA×PM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$PM=2，
∴PM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵PM⊥OA，BN⊥OA，
∴PM∥BN，
∵PB∥OA，
∴四边形BPMN是平行四边形，
∴BN=PM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵sin∠BON=$\frac{BN}{OB}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{OB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴OB=4，
∵PB∥AO，
∴B（0，-4），
∴平移后的直线PB的函数解析式y=2x-4，

方法二、如图1，过点P作PC⊥y轴交OA于C，
设点P的坐标为（n，$\frac{2}{n}$）（n＞1），
∴C（$\frac{1}{n}$，$\frac{2}{n}$），∴PC=n-$\frac{1}{n}$，
∵△POA的面积为2．A（1，2）
∴S_△POA=S_△PCO+S_△PCA
=$\frac{1}{2}$（n-$\frac{1}{n}$）×$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{2}$（n-$\frac{1}{n}$）（2-$\frac{2}{n}$）
=$\frac{1}{2}$（n-$\frac{1}{n}$）×2
=n-$\frac{1}{n}$
=2，
∴n=1-$\sqrt{2}$（舍）或n=1+$\sqrt{2}$，
∴P（1+$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-2）
∴PB∥AO，
∴设直线PB的解析式为y=2x+b，
∵点P在直线PB上，
∴2$\sqrt{2}$-2=2（1+$\sqrt{2}$）+b，
∴b=-4，
∴平移后的直线PB的函数解析式y=2x-4，

点评 此题是反比例函数和一次函数的交点问题，主要考查了函数解析式的确定方法，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数的意义，解本题的关键是作出辅助线．