Question

16．已知：在等腰直角△ABC的斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°，设AM=m，MN=x，BN=n，画图探究以x、m、n为边长的三角形的形状．

Answer 1

分析 把△ACM绕C点逆时针旋转90°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的m、x、n集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．

解答 解：结论：以x、m、n为边长的三角形是直角三角形．
理由：如图所示，把△ACM绕C点逆时针旋转90°，得△CBD，连接DN，
∵△ACM≌△BCD，
∴∠ACM=∠BCD，CM=CD，∠MCN=∠NCD=45°，
在△MNC与△DNC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CM=CD}\\{∠MCN=∠NCD}\\{CN=CN}\end{array}\right.$，
∴△MNC≌△DNC（SAS），
∴MN=ND，AM=BD=m，
又∵∠DBN=45°+45°=90°，
∴以x、m、n为边长的三角形的形状为直角三角形．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握下列情形常实施旋转变换：（1）图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；（2）图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．