如图.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为E(1.4).与x轴交于点A.B(3.0).与y轴交于点C．(1)求该抛物线所对应的函数关系式.并直接写出点C的坐标,(2)如图1.点P是第一象限内抛物线上一动点.连结PC.PB.BC.设点P的横坐标为t．①当t为何值时.△PBC的面积最大?并求出最大面积,②当t为何值时.△PBC是直角三角形?(3)如图2.过E作EF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

12．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为E（1，4），与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式，并直接写出点C的坐标；
（2）如图1，点P是第一象限内抛物线上一动点，连结PC、PB、BC，设点P的横坐标为t．
①当t为何值时，△PBC的面积最大？并求出最大面积；
②当t为何值时，△PBC是直角三角形？
（3）如图2，过E作EF⊥x轴于F，若M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请直接写出实数m的取值范围．

分析（1）根据已知条件求得y=-x²+2x+3，当x=0时，得到y=3，于是得到C（0，3）；
（2）首先令-x²+2x+3=0，求得点B的坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b′，由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设Q（a，3-a），即可得P（a，-a²+2a+3），即可求得PQ的长，由S_△PBC=S_△PQC+S_△PQB，即可得S_△PBC=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）首先过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，然后分别从点M在EF左侧与M在EF右侧时去分析求解即可求得答案．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为E（1，4），
∴设y=a（x-1）²+4，
把B（3，0）代入，得0=a（3-1）²+4，
解得：a=-1，
∴y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3，
当x=0时，y=3，
∴C（0，3）；

（2）①如图1，过P作PQ∥y轴BC于点Q．
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}3k+b=0\\ b=3\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=3\end{array}\right.$
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设P（t，-t²+2t+3），Q（t，-t+3），
∴PQ=（-t²+2t+3）-（-t+3）
=-t²+3t，
∴△PBC的面积s=$\frac{1}{2}×3$（-t²+3t）
=$-\frac{3}{2}{（\;t-\frac{3}{2}\;）^2}+\frac{27}{8}$，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，△PBC的最大面积为$\frac{27}{8}$；
②∵∠PBC≠90°，
∴Ⅰ、当∠PCB=90°时，
设直线PC的解析式为：y=kx+b，
∵CP⊥BC
∴k=1
∴直线PC的解析式为y=x+3，
解$\left\{\begin{array}{l}y=-{x^2}+2x+3\\ y=x+3\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=3\end{array}\right.$（舍），
∴t=1；
Ⅱ、当∠BPC=90°时，
如图1，过P作PG⊥x轴于G，作PR⊥y轴于R，
易知△PRC∽△PGB，
∴$\frac{RC}{PR}=\frac{BG}{PG}$，
∴$\frac{{-{t^2}+2t}}{t}=\frac{3-t}{{-{t^2}+2t+3}}$，
∵t≠0，t≠3，
∴$\frac{-t+2}{1}=\frac{1}{t+1}$
∴t²-t-1=0
解得$t=\frac{{1±\sqrt{5}}}{2}$，
∴$t=\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$；
（3）由（1）知，y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴OF=1，EF=4，OC=3，
过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，
如图2①，当M在EF左侧时，
∵∠MNC=90°，
则△MNF∽△NCH，
∴$\frac{MF}{NH}$=$\frac{FN}{HC}$，
设FN=n，则NH=3-n，
∴$\frac{1-m}{3-n}$=$\frac{n}{1}$，
即n²-3n-m+1=0，
关于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
得m≥-$\frac{5}{4}$且m≠1；
当M与F重合时，m=1；
如图2②，当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，
作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N为点E时，OM=5，
∴m≤5，
综上，m的变化范围为：-$\frac{5}{4}$≤m≤5．

点评此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

9．

如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE=1.5米，则这棵树的高度为15.3米．（结果保留一位小数．参考数据：sin54°=0.8090，cos54°=0.5878，tan54°=1.3764）

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

10．

如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE=40°，则∠FGB=（　　）

A．

40°

B．

50°

C．

60°

D．

70°

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

7．定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=$\frac{1}{4}$CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

7．

如图，已知∠ABC=120°，AB=πr，BC=$\frac{πr}{2}$，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止，则圆心O运动的路程是$\frac{11}{6}$πr．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

17．（1）太原双塔寺，为国家级文物保护单位，由于双塔耸立．被人们称为“文笔双塔”，成为太原的标志．小明学习了“利用三角函数测量不可达物体高度”的知识后．利用图1求塔DE的高．具体做法：在地面A、B两处测得塔DE的仰角分别为α、β，且测得AB=a米．设DE=h米，由AE-BE=a可得关于h的方程$\frac{h}{tanα}$-$\frac{h}{tanβ}$=a，解得h=$\frac{a•tanα•tanβ}{tanβ-tanα}$
（2）请你用上述基本模型解决下列问题：如图2，斜坡AE的坡度为1：$\sqrt{3}$，在A处测得塔尖D的仰角为60°，沿着斜坡向上走10米到达B，在B处侧得塔尖D的仰角为75°，求塔DE的高．（结果保留根号）

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

4．小明所在的学校为加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买2个篮球和3个足球共需600元；若购买5个篮球和2个足球共需950元．
（1）每个篮球和足球各需多少元？
（2）根据学校的实际情况，需从该商店一次性购买篮球和足球共60个，实际购买中得知：在此商店购买足球和篮球的总个数超过50时，在此商店购买的篮球打八折出售（足球仍按原价出售）．若该校此次用于买篮球和足球的总费用少于6800元，那么最多可以购买多少个篮球？

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

1．若实数a、b满足（a+b）（a+b-6）+9=0，则a+b的值为3．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

2．

如图，在△ABC中，∠C=90°，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与边AC、BC相切于点D、E，连接OD、OE．
（1）求证：四边形CDOE是正方形；
（2）若AC=3，BC=4，求⊙O的半径．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学