已知：抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，0），b（x2，0）（x1＜x2），顶点M的纵坐标是-4．若x1，x2是方程x2-2（m-1）+m2-7=0的两个实数根，且x12+x22=10．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据韦达定理可得出A、B两点横坐标的和与积，联立x12+x22=10，可求出m的值，进而可求出A、B的坐标．
（2）根据A、B的坐标，可得出抛物线的对称轴的解析式，即可求出其顶点M的坐标，根据得出的A、B、M三点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）可先求出四边形ACMB的面积（由于四边形ACMB不规则，因此其面积可用分割法进行求解）．然后根据ACMB的面求出P点的纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．
解答：
解：（1）∵若x
1，x
2是方程x
2-2（m-1）+m
2-7=0的两个实数根，
由题意得：x
1+x
2═-
=2（m-1），x
1x
2=
=m
2-7．
∴x
12+x
22=（x
1+x
2）
2-2x
1x
2=4（m-1）
2-2（m
2-7）=10，
化简，得m
2-4m+4=0，
解得m=2．
且当m=2时，△=4-4×（-3）＞0，符合题意．
∴原方程可写成：x
2-2x-3=0，
∵x
1＜x
2，
∴x
1=-1，x
2=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）已知：A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=1，
因此抛物线的顶点坐标为（1，-4）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），则有：
-4=a（1+1）（1-3），a=1；
∴y=（x-3）（x+1）=x
2-2x-3；
（3）S
四边形ACMB=S
△AOC+S
梯形OCMN+S
△NBM=
OA•OC+
（OC+MN）•ON+
NB•MN，
=
×1×3+
×（3+4）×1+
×2×4=9．
假设存在P（x
0，y
0）使得S
△PAB=2S
四边形ACMB=18，
即：
AB|y
0|=18，
×4×|y
0|=18，
∴y
0=±9；
当y
0=9时，x
2-2x-3=9，解得x=1-
，x=1+
；
当y
0=-9时，x
2-2x-3=-9，此方程无实数根．
∴存在符合条件的P点，且坐标为（1-
，9），（1+
，9）．
点评：主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在，求出圆的圆心坐标，若不存在，请说明理由．
（2013•贵阳）已知：直线y=ax+b过抛物线y=-x2-2x+3的顶点P，如图所示．
，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边．
，抛物线与x轴交于点P、Q，问是否
存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在，求出圆的圆心坐标，若不存在，请说明理由．
，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边．
，抛物线与x轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在，求出圆的圆心坐标，若不存在，请说明理由．
